【題目】如圖，在四棱錐
中，已知
平面
，
為等邊三角形，
，
，
與平面
所成角的正切值為
.
(Ⅰ)證明：
平面
；
(Ⅱ)若
是
的中點，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）
.
【解析】
(Ⅰ)先證明
為
與平面
所成的角，于是可得
，于是
．又由題意得到
，故得
，再根據線面平行的性質可得所證結論． (Ⅱ) 取
的中點
，連接
，可證得
．建立空間直角坐標系，分別求出平面
和平面
的法向量，根據兩個法向量夾角的余弦值得到二面角的余弦值．
(Ⅰ)證明：因為
平面
，
平面，
所以
又
,
,
所以
平面，
所以為與平面所成的角．
在
中，
，
所以
所以在中，
,.
又，
所以在底面中，,
又
平面
，
平面，
所以
平面．
(Ⅱ)解：取的中點，連接，則
,由(Ⅰ)知，
所以，
分別以，
，
為
，
，
軸建立空間直角坐標系
.
則
，
，
，
所以
，
，
設平面的一個法向量為
，
由
，即
，得
，
令
，則
．
設平面的一個法向量為
，
由
，即
，得
，
令
，則
．
所以
，
由圖形可得二面角
為銳角，
所以二面角的余弦值為．
優質課堂快樂成長系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規定：機動車行經人行道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”， 《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監控設備所抓拍的5個月內駕駛員“禮讓斑馬線”行為統計數據：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
（1）請利用所給數據求違章人數
與月份
之間的回歸直線方程
；
（2）預測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數.
參考公式： 
， 
.
參考數據： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（
）過點
，短軸一個端點到右焦點的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過定點
的直線1與橢圓交于不同的兩點A，B，若坐標原點O在以線段AB為直徑的圓上，求直線l的斜率k．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有一橢圓形溜冰場，長軸長100米，短軸長為60米，現要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形區域，且使這個區域的面積最大，應把這個矩形的頂點定位在何處？并求出此矩形的周長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值．由測量表得到如下頻率分布直方圖
（1）補全上面的頻率分布直方圖（用陰影表示）；
（2）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中間值作為代表，據此估計這種產品質量指標值服從正態分布Z（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均值
，σ2近似為樣本方差s2（組數據取中間值）；
①利用該正態分布，求從該廠生產的產品中任取一件，該產品為合格品的概率；
②該企業每年生產這種產品10萬件，生產一件合格品利潤10元，生產一件不合格品虧損20元，則該企業的年利潤是多少？
參考數據：
＝5.1，若Z～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ，μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ，μ+2σ）＝0.9544．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】郴州市某中學從甲乙兩個教師所教班級的學生中隨機抽取100人，每人分別對兩個教師進行評分，滿分均為100分，整理評分數據，將分數以10為組距分成6組：
，
，
，
，
，
.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數分布表：
乙教師分數頻數分布表 | |
分數區間 | 頻數 |
| 3 |
| 3 |
| 15 |
| 19 |
| 35 |
| 25 |
（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數；
（2）從對乙教師的評分在
范圍內的人中隨機選出2人，求2人評分均在范圍內的概率；
（3）如果該校以學生對老師評分的中位數是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優秀教師的標準，則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優秀教師？（精確到0.1）
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