Question

【題目】已知數列、滿足，且

（1）令證明：是等差數列，是等比數列；

（2）求數列和的通項公式；

（3）求數列和的前n項和公式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）數列的前項和為，數列的前項和為.

【解析】

（1）在等式中將兩式分別相加或相減，利用等差數列的定義可證明出數列是等差數列，利用等比數列的定義可證明出數列為等比數列；

（2）求出數列、的通項公式，可建立關于、的方程組，解出、，即可得出數列和的通項公式；

（3）利用分組求和法可求出數列和的前項和.

（1），

將上述兩等式相加得，

即，因此，又，

所以數列是首項為，公差為的等差數列，.

又由題設得，即，

因此，又，

所以數列是首項為，公比為的等比數列，；

（2）由（1）知，，即，

解得，；

（3）設數列和的前項和分別為、，

則，同理可得.