Question

【題目】已知數(shù)列滿足，對任意的，都有.

(1)求數(shù)列的遞推公式

(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)在(2)的條件下，設(shè)，問是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明你的理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）利用成立,令,得.即可得到數(shù)列的遞推公式.

（2）由（1）求出 求出,即可求出的通項(xiàng)公式;

（3）化簡,通過的符號,求出的范圍.

（1）對任意都有成立，

令，得

數(shù)列的遞推公式是

（2）由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，于是

由

得

故得

當(dāng)時,，

∴

∴

（3）

當(dāng)時,,

依據(jù)題意,有,即

當(dāng)為大于或等于的偶數(shù)時,有 恒成立,又隨增大而增大

則,故的取值范圍為;

當(dāng)為大于或等于的奇數(shù)時，有恒成立，故的取值范圍為;

當(dāng)時，由，得.

綜上所述的取值范圍是:.