Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中,設點,直線:,點在直線上移動,是線段與軸的交點, ．
（I）求動點的軌跡的方程；
（II）設圓過,且圓心在曲線上, 設圓過,且圓心在曲線 上,是圓在軸上截得的弦,當運動時弦長是否為定值？請說明理由．

Answer 1

解：（I） 依題意知,直線的方程為：．……………2分
點是線段的中點,且⊥,∴是線段的垂直平分線．……………4分
∴是點到直線的距離．
∵點在線段的垂直平分線,∴．……………6分
故動點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,
其方程為：．……………8分
（II）,到軸的距離為,…………9分
圓的半徑,…………１0分
則,……………１2分
由（I）知,
所以,是定值．……………１４分

略