Question

已知橢圓的方程為，點分別為其左、右頂點，點分別為其左、右焦點，以點為圓心，為半徑作圓；以點為圓心，為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長之比為；
（1）求橢圓的離心率；
（2）己知，問是否存在點，使得過點有無數條直線被圓和圓截得的弦長之比為；若存在，請求出所有的點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由，得直線的傾斜角為，
則點到直線的距離，
故直線被圓截得的弦長為，
直線被圓截得的弦長為，                 （3分）
據題意有：，即，                      （5分）
化簡得：，
解得：或，又橢圓的離心率；
故橢圓的離心率為．（7分）
（2）假設存在，設點坐標為，過點的直線為；
當直線的斜率不存在時，直線不能被兩圓同時所截；
故可設直線的方程為，
則點到直線的距離，
由（1）有，得=，
故直線被圓截得的弦長為，                       （9分）
則點到直線的距離，
，故直線被圓截得的弦長為，             （11分）
據題意有：，即有，整理得，
即，兩邊平方整理成關于的一元二次方程得
，                 （13分）
關于的方程有無窮多解，
故有：，
故所求點坐標為（－1，0）或（－49，0）．                          （16分）
（注設過P點的直線為后求得P點坐標同樣得分）

略