Question

【題目】如圖，正三棱錐，已知，

（1）求此三棱錐內切球的半徑.

（2）若是側面上一點，試在面上過點畫一條與棱垂直的線段，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)半徑為 ;(2) 過作線段平行于，則為所求，證明見解析.

【解析】試題分析; （1）過作平面，垂足為，由正三棱錐的性質可得為底面正三角形的中心，，求解三角形可得，進一步得到，求得，再由棱錐體積公式求得正三棱錐 的體積,最后 可求此三棱錐內切球的半徑；
（2）由（1）結合線面垂直的判定可得 ，得到 ，過 作線段平行于 ，則為所求．

試題解析;（1）如圖，過作平面，垂足為，

∵為正三棱錐，∴為底面正三角形的中心，

連接并延長交于，

則，且，

∴，則．

∴ ；

（2）過作線段平行于，則為所求．

理由：∵為正三棱錐，

過作平面，垂足為，

∴為底面正三角形的中心，

則， ，

∴平面，則，

∵ ，

∴．