Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3x的定義域?yàn)镽，滿足f（a+2）=18，函數(shù)g（x）=λ3ax﹣4x的定義域?yàn)閇0，1]．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）為定義域上單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）λ為何值時(shí)，函數(shù)g（x）的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（a+2）=3a+2=18，∴3a=2，即a=log32
（2）解：由（1）可知g（x）=λ3 ﹣4x=λ2x﹣4x，

設(shè)2x=t，t∈[1，2]，h（t）=λt﹣t2，

∵t=2x是增函數(shù)，g（x）是減函數(shù)，

∴h（t）=λt﹣t2在[1，2]上是減函數(shù)，

∴ ≤1，即λ≤2

（3）解：由（2）可知h（t）=﹣t2+λt，t∈[1，2]的最大值為 ，

①若 ≥2即λ≥4，則h（t）在[1，2]上單調(diào)遞增，

∴h（2）=﹣4+2λ= ，解得λ= （舍）．

②若 ≤1即λ≤2時(shí)，則h（t）在[1，2]上單調(diào)遞減，

∴h（1）=﹣1+λ= ，解得λ= ．

③若1＜ ＜2，即2＜λ＜4，則h（t）在[1，2]上先增后減，

∴h（ ）=﹣ + = ，解得λ= （舍）．

綜上，λ=

【解析】（1）根據(jù)f（a+2）=18計(jì)算a；（2）設(shè)t=2x，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出h（t）=λt﹣t2在[1，2]上單調(diào)遞減，從而得出λ的范圍；（3）討論對(duì)稱軸與區(qū)間[1，2]的關(guān)系得出h（t）的單調(diào)性，根據(jù)最大值為 計(jì)算λ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．