Question

【題目】為了了解甲、乙兩所學校全體高三年級學生在該地區八校聯考中的數學成績情況，從兩校各隨機抽取60名學生，將所得樣本作出頻數分布統計表如下： 甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	2	5	9	10
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	14	10	6	4

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
頻數	2	4	8	16
分組	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
頻數	15	6	6	3

以抽樣所得樣本數據估計總體
（1）比較甲、乙兩校學生的數學平均成績的高低；
（2）若規定數學成績不低于120分為優秀，從甲、乙兩校全體高三學生中各隨機抽取2人，其中數學成績為優秀的共X人，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：計算甲的平均數為

= ×（75×2+85×4+95×8+105×16+115×15+125×6+135×6+145×3）=110.8，

乙的平均數為

= ×（75×2+85×5+95×9+105×10+115×14+125×10+135×6+145×4）=112.2；

所以乙校學生的數學平均成績高于甲校

（2）解：由上表可知，甲、乙兩校學生的優秀率分別為 、 ，

X=0，1，2，3，4；

P（X=0）= × = ，P（X=1）= + = ，

P（X=2）= × + × + = ，

P（X=3）= + = ，

P（X=4）= × = ；

所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

數學期望為E（X）=0× +1× +2× +3× +4× =

【解析】（1）計算甲、乙的平均數，比較即可得出結論；（2）由題意知，甲、乙兩校學生的優秀率分別為 、 ，X的可能取值是0，1，2，3，4；計算對應的概率，寫出X的分布列，求出數學期望值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．