Question

【題目】設常數a≥0，函數f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比較g（x）的最小值與0的大小；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）求證：當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）

∴ ，= ，

∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）

∴ ，令g'（x）=0，得x=2，

列表如下：

∴g（x）在x=2處取得極小值g（2）=2﹣2ln2+2a，

即g（x）的最小值為g（2）=2﹣2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1﹣ln2）+2a，

∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，

∴g（2）＞0

（2）證明：由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正數，

∴對一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0

從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0

故f（x）在（0，+∞）上是增函數

（3）證明：由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函數，

∴當x＞1時，f（x）＞f（1）

又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0

∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0

∴x＞ln2x﹣2alnx+1

故當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1

【解析】（1）依題意求出g（x）的表示式，用導數研究其單調性求出其最小值再與0比較；（2）利用（1）的結論進行證明，判斷時要求注意研究的區間是（0，+∞）這一特征；（3）由（2）的結論知只須證明f（1）非負即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解復合函數單調性的判斷方法(復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”)，還要掌握函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)的相關知識才是答題的關鍵．