Question

如圖，在直三棱柱(即側棱與底面垂直的三棱柱)中，

（I）若為的中點，求證：平面平面；
（II）若為線段上一點，且二面角的大小為，試確定的位置．

Answer 1

（I）略；（II）．

試題分析：（I）可以轉為證線面垂直或利用空間向量證明面面垂直；（II）可利用的面積求也可利用空間向量求．
試題解析：方法一：（I）證明：∵，∴.        
又由直三棱柱的性質知， 
∴平面，∴，            ①
由為的中點，可知，
∴，即，            ②
又                                ③
由①②③可知平面， 
又平面，故平面平面.  
（II）解：由（I）可知平面，在平面內過作，交或其延長線于，連接，∴為二面角的平面角，   
∴.由知，，設，則.
∵的面積為，∴.  
解得，即.

方法二：（I）證明：如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則即
           
由，得；         
同理可證，得.         
又平面.             
又平面，∴平面平面.       
（II）解：設，則點坐標為
設平面的一個法向量為．
則令.
得，   
又平面的一個法向量為， 
則由，得，  
即，故.          ……