Question

已知定義在R上的函數f（x），對任意的實數m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且當x＞0時，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并證明當x＜0時，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判斷函數f（x）在R上的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）若f（1）=2，數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*），記Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，且對一切正整數n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）已知定義在R上的函數f（x），對任意的實數m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，令x=0，y=1，即可求得f（0）的值；且當x＞0時，f（x）＞1，當x＜0時，-x＞0，可證有0＜f（x）＜1成立；
（II）根據函數單調性的定義討論函數的單調性；
（III）f（1）=2，數列{a_n}滿足a_n=f（n），探討數列{a_n}的特性，從而求得s_n，對一切正整數n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
求得s_n的最值，求得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由題意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，則f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(x)=

1

f(-x)

．
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R且設x₁＞x₂，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴

f(x1)

f(x2)

=

f(x1-x2+x2)

f(x2)

=f(x1-x2)，（7分）∵x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數f（x）在R上是增函數．

（Ⅲ）

an

an-1

=

f(n)

f(n-1)

=f(1)=2，
∴數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
∴a_n=2ⁿ．Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n．
又對一切正整數n，有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
即f(

1-m

)≥2恒成立．
又f（1）=2，∴f(

1-m

)≥f(1)恒成立．
又由（Ⅱ）得

1-m

≥1，
解得m的取值范圍是m≤0．

點評：考查抽象函數賦值法求某些點的函數值，利用函數單調性的定義討論抽象函數的單調性問題，特別是（Ⅲ）和數列和恒成立問題綜合，加大了試題的難度，屬難題．