Question

【題目】若函數在區間上的值域為，則稱區間為函數的一個“倒值區間”.定義在上的奇函數，當時，

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）求函數在上的“倒值區間”；

（Ⅲ）記函數在整個定義域內的“倒值區間”為，設，則是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像有兩個不同的交點？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）當，利用函數奇偶性可知，代入求得時的解析式，從而得到分段函數解析式；（Ⅱ）設，利用單調性和“倒值區間”的定義可得，解方程求得結果；（Ⅲ）當時，，不滿足在上的值域，可知在上的“倒值區間”為，同理可得在上的“倒值區間”；根據解析式可得到交點位置，根據交點位置可得關于的方程，利用函數值域可求得的范圍；通過兩段范圍可確定的取值.

（Ⅰ）當時，

為奇函數

（Ⅱ）設，由（Ⅰ）知，在上單調遞減

，整理得：

解得：

函數在上的“倒值區間”為：

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數在上的“倒值區間”為

當倒值區間時，

而函數在上的值域為

函數在上不存在倒值區間

即：函數在上的“倒值區間”為

當時，同理可求得的倒值區間為

若函數的圖像與的圖像有兩個不同的交點，則兩個交點分別在第一、三象限

當交點在第一象限時，方程

即：在區間內恰有一個解

當，單調遞減且

當交點在第三象限時，方程

即：在區間內恰有一個解

綜上可得：