Question

【題目】選修4﹣﹣4；坐標系與參數方程
已知動點P，Q都在曲線C： 上，對應參數分別為β=α與β=2α（0＜α＜2π），M為PQ的中點．
（1）求M的軌跡的參數方程
（2）將M到坐標原點的距離d表示為α的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），

∵M為PQ的中點，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），

∴求M的軌跡的參數方程為： （α為參數，0＜α＜2π）．

（2）解：M到坐標原點的距離d= = （0＜α＜2π）．

當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點．

【解析】（1）根據題意寫出P，Q兩點的坐標：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點坐標公式得PQ的中點M的坐標，從而得出M的軌跡的參數方程；（2）利用兩點間的距離公式得到M到坐標原點的距離d= = ，再驗證當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點．