【題目】已知橢圓
的離心率為
，動直線
與橢圓
交于點
，與
軸交于點
.
為坐標(biāo)原點，
是
中點.
（1）若
，求
的面積；
（2）若試探究是否存在常數(shù)
，使得
是定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的方程，當(dāng)
時，直線
的方程為
，聯(lián)立方程，求得
的坐標(biāo)，結(jié)合面積公式，即可求解；
（2）設(shè)
，
，聯(lián)立
求得
，
，再利用向量的數(shù)量積的運算公式，化簡
，得到常數(shù)時，得出定值，得到結(jié)論.
（1）由題意，橢圓
的離心率為
，
所以
，解得
，
所以橢圓
的方程為
，
當(dāng)時，直線的方程為
，即，
設(shè)，，
聯(lián)立
消去
，整理得
，解得
，
，
可得
，
，
所以
的面積為
.
（2）設(shè)，，則
，
，
聯(lián)立
得
，
其判別式
，所以，，
從而
，
所以當(dāng)時，
，
即
為定值，
故存在常數(shù)，使得
為定值
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，得到甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖.
（1）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，對預(yù)賽成績的平均值和方差進(jìn)行分析，你認(rèn)為哪位學(xué)生的成績更穩(wěn)定？請說明理由；
（2）若將頻率視為概率，求乙同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競賽中成績高于84分的概率；
（3）求在甲同學(xué)的8次預(yù)賽成績中，從不小于80分的成績中隨機抽取2個成績，列出所有結(jié)果，并求抽出的2個成績均大于85分的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年國際籃聯(lián)籃球世界杯將于2019年8月31日至9月15日在中國的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.為了宣傳國際籃聯(lián)籃球世界杯，某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機抽取了120名學(xué)生，對是否會收看該國際籃聯(lián)籃球世界杯賽事的情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
會收看 | 不會收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
（1）根據(jù)上表說明，能否有99%的把握認(rèn)為是否會收看該國際籃聯(lián)籃球世界杯賽事與性別有關(guān)？
（2）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為
與
，且乙投球3次均未命中的概率為
.
（i）求乙投球的命中率；
（ii）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
，其中
，
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2020年3月，國內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優(yōu)惠方案如下表：
購票人數(shù) | 1~50 | 51~100 | 100以上 |
門票價格 | 13元/人 | 11元/人 | 9元/人 |
兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數(shù)之差為（ ）
A.20B.30C.35D.40
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取了100名高中生，根據(jù)問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：
作文成績優(yōu)秀 | 作文成績一般 | 總計 | |
課外閱讀量較大 | 35 | 20 | 55 |
課外閱讀量一般 | 15 | 30 | 45 |
總計 | 50 | 50 | 100 |
（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量的大小與作文成績優(yōu)秀有關(guān)；
（2）若用分層抽樣的方式從課外閱讀量一般的高中生中選取了6名高中生，再從這6名高中生中隨機選取2名進(jìn)行面談，求面談的高中生中至少有1名作文成績優(yōu)秀的概率．
附：
，其中
．
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當(dāng)
為何值時，
軸為曲線
的切線；
（2）用
表示
、
中的最大值，設(shè)函數(shù)
，當(dāng)
時，討論
零點的個數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解高中學(xué)生對數(shù)學(xué)課是否喜愛是否和性別有關(guān)，隨機調(diào)查220名高中學(xué)生，將他們的意見進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的
列聯(lián)表.
喜愛數(shù)學(xué)課 | 不喜愛數(shù)學(xué)課 | 合計 | |
男生 | 90 | 20 | 110 |
女生 | 70 | 40 | 110 |
合計 | 160 | 60 | 220 |
（1）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有
的把握認(rèn)為“喜愛數(shù)學(xué)課與性別”有關(guān)；
（2）為培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，從不喜愛數(shù)學(xué)課的學(xué)生中進(jìn)行進(jìn)一步了解，從上述調(diào)查的不喜愛數(shù)學(xué)課的人員中按分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽出2名進(jìn)行電話回訪，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.
參考公式：
.
P（ | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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