Question

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（）相切于點M。

⑴求橢圓T與圓O的方程；
⑵過點M引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）。
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為、，求的最大值；
②若，求與的方程。

Answer 1

（1）橢圓的方程為與圓的方程為；（2）①；②的方程為，的方程為或的方程為，的方程為．

試題分析：（1）圓的圓心在原點，又過點為，方程易求，而橢圓過點，這實質是橢圓短軸的頂點，因此，又離心率，故也易求得，其標準方程易得．（2）①看到點到直線的距離，可能立即想到點到直線的距離公式，當然如果這樣做的話，就需要求出直線方程，過程相對較難，考慮到直線，由所作的兩條垂線，與直線圍成一個矩形，從而，我們只要設點坐標為，則，再由點在橢圓上，可把表示為或的函數，從而求出最大值．②這題考查同學們的計算能力，設直線的斜率為，得直線方程，與圓方程和橢圓方程分別聯立方程組，求出點坐標，點坐標，同樣求出的坐標，再利用已知條件求出，得到直線的方程．
試題解析：(1)由題意知: 解得可知:
橢圓的方程為與圓的方程           4分
(2)①設因為⊥,則因為
所以,           7分
因為  所以當時取得最大值為，此時點    9分
②設的方程為,由解得；
由解得          11分
把中的置換成可得，      12分
所以，
，
由得解得        15分
所以的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為         16分