Question

某公司以每噸10萬元的價格銷售某種化工產品，每年可售出該產品1000噸，若將該產品每噸的價格上漲x%，則每年的銷售數量將減少mx%，其中m為正常數．
（1）當m=

1

2

時，該產品每噸的價格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大？
（2）如果存在一次漲價，能使銷售總金額增加，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設，當價格上漲x%時，銷售總金額：y=10（1+x%）•1000（1-mx%）=-mx2+100(1-m)x+10000(0＜x＜

100

m

)．由此能求出該噸產品每噸的價格上漲50%時，銷售總金額最大．
（2）由y=-mx2+100(1-m)x+10000，(0＜x＜

100

m

)，知如果存在一次漲價，能使銷售總金額增加，則存在0＜x＜

100

m

使y＞10×1000，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由題設，當價格上漲x%時，銷售總金額：
y=10（1+x%）•1000（1-mx%）=-mx2+100(1-m)x+10000(0＜x＜

100

m

)．
當m=

1

2

時，y=

1

2

[-(x-50)2+22500]，
當x=50時，y_max=11250．即該噸產品每噸的價格上漲50%時，銷售總金額最大．
（2）由（1）y=-mx2+100(1-m)x+10000，(0＜x＜

100

m

)；
如果存在一次漲價，能使銷售總金額增加，則存在0＜x＜

100

m

使y＞10×1000，
-mx²+100（1-m）x+10000＞10000，
∴-mx+100（1-m）＞0，注意到m＞0，
∴x＜

100(1-m)

m

，
∵

100(1-m)

m

＜

100

m

，
∴

100(1-m)

m

＞0，解得0＜m＜1．

點評：本題考查函數在生產實際中的具體應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．