Question

【題目】當今世界科技迅猛發展，信息日新月異．為增強全民科技意識，提高公眾科學素養，某市圖書館開展了以“親近科技、暢想未來”為主題的系列活動，并對不同年齡借閱者對科技類圖書的情況進行了調查．該圖書館從只借閱了一本圖書的借閱者中隨機抽取100名，數據統計如表：

	借閱科技類圖書（人）	借閱非科技類圖書（人）
年齡不超過50歲	20	25
年齡大于50歲	10	45

（1）是否有99%的把握認為年齡與借閱科技類圖書有關？

（2）該圖書館為了鼓勵市民借閱科技類圖書，規定市民每借閱一本科技類圖書獎勵積分2分，每借閱一本非科技類圖書獎勵積分1分，積分累計一定數量可以用積分換購自己喜愛的圖書．用表中的樣本頻率作為概率的估計值．

（i）現有3名借閱者每人借閱一本圖書，記此3人增加的積分總和為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望；

（ii）現從只借閱一本圖書的借閱者中選取16人，則借閱科技類圖書最有可能的人數是多少？

附：K2，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】（1）有99%的把握認為年齡與借閱科技類圖書有關；（2）（i）分布列詳見解析，數學期望為3.9；（ii）5人．

【解析】

（1）根據K2的表達式代入計算即可判斷；

（2）（i）由題知借閱科技類圖書的概率P，若這3人增加的積分總和為隨機變量ξ，分別計算出P（ξ＝3），P（ξ＝4），P（ξ＝5），P（ξ＝6），即可得到分布列及期望；

（ii）根據題意得隨機變量X滿足X～B（16，）的二項分布，列出不等式組，解出即可

解：（1）K28.129＞6.635，

所以有99%的把握認為年齡與借閱科技類圖書有關；

（2）（i）因為用表中的樣本頻率作為概率的估計值，所以借閱科技類圖書的概率P，

因為3名借閱者每人借閱一本圖書，這3人增加的積分總和為隨機變量ξ，

所以隨機變量ξ的可能取值為3，4，5，6，

P（ξ＝3）

P（ξ＝4）

P（ξ＝5）

P（ξ＝6），

從而ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P

所以E（ξ）＝34563.9；

（ii）記16人中借閱科技類圖書的人數為X，則隨機變量X滿足二項分布X～B（16，）

設借閱科技類圖書最有可能的人數時k（k＝0，1，2，……，16）

則，

而，，

解得4.1≤k≤5.1，

故k＝5，

所以16人借閱科技類圖書最有可能的人數是5人