Question

【題目】設直線分別是函數 圖象上點處的切線，垂直相交于點，且分別與軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( )

A. (1,+∞) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (0,1)

Answer 1

【答案】D

【解析】

設出點P1，P2的坐標，求出原分段函數的導函數，得到直線l1與l2的斜率，由兩直線垂直求得P1，P2的橫坐標的乘積為1，再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得A，B兩點的縱坐標，得到|AB|，聯立兩直線方程求得P的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得△PAB的面積的取值范圍．

解：設P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），

當0＜x＜1時，f′（x），當x＞1時，f′（x），

∴l1的斜率，l2的斜率，

∵l1與l2垂直，且x2＞x1＞0，

∴，即x1x2＝1．

直線l1：，l2：．

取x＝0分別得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），

|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．

聯立兩直線方程可得交點P的橫坐標為x，

∴|AB||xP|．

∵函數y＝x在（0，1）上為減函數，且0＜x1＜1，

∴，則，

∴．

∴△PAB的面積的取值范圍是（0，1）．

故選：D．