Question

【題目】已知點在橢圓上， 為橢圓的右焦點， 分別為橢圓的左，右兩個頂點.若過點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，且線段的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與相交于點，證明： 三點共線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）根據點在橢圓上和的斜率之積為可得到關于的方程組，解方程組后可得橢圓的方程．（2）由（1）可得軸，要證三點共線，只需證軸，即證，即證直線與交點的橫坐標為1．根據題意可得直線， ，故只需證當x=1時， 成立即可，結合由直線的方程和橢圓方程聯立消元后得到的二次方程可得顯然成立，故得所證結論成立．

試題解析：

（1）∵點在橢圓，

∴①．

設，由線段的斜率之積為得，

，

∴②，

由①②解得， ， .

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）可得軸，要證三點共線，只需證軸，即證.

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于兩點，

∴

設， ，

則， （*），

因為直線， ，

即證： ，

即證 .

即證.

將（*）代入上式可得，

整理得.

此式明顯成立，故原命題得證.

所以三點共線.