Question

已知數列{a_n}滿足：a_i=a，a是非零常數，an=

2an-1，n為奇數 an-1+t，n為偶數

t是常數，
（1）當a-1，t=0時，求數列{a_n}的通項公式．
（2）對于給定的常數a是否存在常數t，λ使數列{a_n+λ}是等比數列．若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知首項等于1，t=0，代入已知的數列{a_n}通項公式中，得到當n為奇數時，第n項等于前一項的2倍；當n為偶數時，第n項等于第n-1項，分別根據等比數列的通項公式寫出各自的通項即可；
（2）根據已知a_n的分段函數，分別表示出第1，2，3及4項，根據數列{a_n+λ}是等比數列，得到第2項與λ和的平方等于第1項與λ的和乘以第3項與λ的和，且第3項與λ和的平方等于第2項與λ的和乘以第4項與λ的和，把表示出的四項代入，化簡后得到t與λ關于a的兩關系式，把a看作已知數解出t和λ，然后把求出的t和λ代入數列中檢驗，滿足題意，故存在常數t，λ使數列{a_n+λ}是等比數列．

解答：解：（1）由已知a₁=1，a₂=1，a₃=2a₂，
當n為奇數時，a_n=2a_n-1=2a_n-2=…=2

n-1

2

，
當n為偶數時a_n=2

n-2

2

；
（2）由已知a₁=a，a₂=a+t，a₃=2a+2t，a₄=2a+3t，
若{a_n+λ}成等比數列，
則有（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），（a₃+λ）²=（a₂+λ）（a₄+λ），
化簡得：a²+aλ=t²，2a²+aλ+3at=-t²，
所以t=-

a

2

，λ=-

3a

4

，代入數列{a_n+λ}得到數列的各項為：

a

4

，-

a

4

，

a

4

，-

a

4

，…，
則數列{a_n+λ}為首項是

a

4

，公比是-1的等比數列，
故存在t=-

a

2

，λ=-

3a

4

使得{a_n+λ}成等比數列．

點評：此題考查學生會利用數列的遞推式得到數列的通項公式，靈活運用等比數列的性質化簡求值，是一道中檔題．