Question

(本小題滿分18分)已知數列｛a_n｝、｛b_n｝、｛c_n｝的通項公式滿足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N*?），若數列｛b_n｝是一個非零常數列，則稱數列｛a_n｝是一階等差數列；若數列｛c_n｝是一個非零常數列，則稱數列｛a_n｝是二階等差數列?(1)試寫出滿足條件a_１＝１,b₁=1，c_n=1（n∈N*?）的二階等差數列｛a_n｝的前五項；(2)求滿足條件(1)的二階等差數列｛a_n｝的通項公式a_n；(3)若數列｛a_n｝首項a_１＝２，且滿足c_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹（n∈N*?），求數列｛a_n｝的通項公式

Answer 1

（1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11（2）a_n＝(n²-n+2)/2 （3）a_n=4ⁿ-2ⁿ

 （1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11-----4分
（2）依題意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3，…
所以b_n=（b_n-b_n-1）＋（b_n-1-b_n-2）＋（b_n-2-b_n-3）＋…+（b₂-b₁）+b₁=1+1+1+…+1="n  " ---6分
又a_n+1-a_n=b_n＝n，n=1，2，3，…所以a_n＝（a_n-a_n-1）＋（a_n-₁-a_n-2）＋（a_n-2-a_n-3）＋…+（a₂-a₁）＋a_１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n²-n+2)/2 --10分
（3）由已知c_n-b_n+1＋３a_n= -2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹，即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，∴a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹．-12分
解法一：整理得：a_n+1＋２ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），-------15分
因而數列｛a_n+2ⁿ｝是首項為a₁+2=4，公比為4的等比數列，
∴a_n+2ⁿ＝4·4^n-1＝４ⁿ，即a_n=4ⁿ-2ⁿ．（18分）
解法二：在等式a_n+1＝4a_n+2ⁿ⁺¹兩邊同時除以2ⁿ⁺¹得：a_n+1/２ⁿ⁺¹=2·a_n/2ⁿ＋１．----15分
令k_n=a_n/2ⁿ，則k_n+1＝２k_n+1，即k_n+1＋１＝２（k_n+1）
故數列｛k_n+1｝是首項為2，公比為2的等比數列所以k_n+1=2·2^n-1＝２ⁿ，即k_n=2ⁿ-1．
∴a_n=2ⁿk_n=2ⁿ（２ⁿ-1）=4ⁿ-2ⁿ．-------18分
解法三：∵a_１＝２，∴a₂＝１２＝２^２×（2^２-1），a₃＝５６＝２^３×（２^３-1），a₄＝３２＝２^４×（２^４-1）
猜想：a_n=2ⁿ（2ⁿ-1）＝４ⁿ-2ⁿ． ------15分
下面用數學歸納法證明如下：（i）當n=1時，a_１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假設n=k時，猜想成立，即a_k=4^k-2^k．那么當n=k+1時，a_k+1＝４a_k+2^k+1＝４（4^k-2^k）＋２^k+1="4" ^k+1-2 ^k+1，結論也成立∴由（i）、（ii）可知，a_n=4ⁿ-2ⁿ．----18分