Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點．

（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）設SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離；
（3）設SA=4，AB=2，當OE丄SC時，求二面角E﹣BD﹣C余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵SA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，

∴SA⊥BD，

∵四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，∴BD⊥AC，

∵AC∩SA=A，

∴BD⊥平面SAC，

∵BD平面EBD，

∴平面EBD⊥平面SAC．

（2）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，

A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），

=（0，0，﹣4）， =（2，0，﹣4）， =（0，2，﹣4），

設平面SBD的法向量 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（2，2，1），

∴得點A到平面SBD的距離為d= ．

（3）解：∵SA=4，AB=2，OE丄SC，

∴A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，4），O（1，1，0），設E（a，a，c），

=（2，2，﹣4）， =（a﹣1，a﹣1，c），

∴ ，解得a= ，c= ，∴E（ ），

=（﹣2，2，0）， =（﹣ ， ， ），

設平面BDE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，1，2），

平面BDC的法向量 =（0，0，1），

設二面角E﹣BD﹣C的平面角為θ，

則cosθ= = = ，

∴二面角E﹣BD﹣C余弦值為 ．

【解析】（1）推導出SA⊥BD，BD⊥AC，從而BD⊥平面SAC，由此能證明平面EBD⊥平面SAC．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出得點A到平面SBD的距離．（3）求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣C余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．