Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)求函數的單調區間；

(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(－∞，－ )上單調遞減，在(－， )上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減；（2）實數m的取值范圍為[1，＋∞).

【解析】試題分析：(Ⅰ)對函數進行求導得，分別解不等式和可得單調區間；(Ⅱ) 令，首先得到，對函數進行二次求導，得到在上單調遞減，則，對分為和兩種情形，判斷和0的關系，得到的單調性，進而得到其與的關系，從而可得結論.

試題解析：(Ⅰ)由已知得，當，即時， 或；當，即時， ，所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．

(Ⅱ)令， ，

由已知可得，即，下面只要考慮的情況即可．

g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，則h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，

因為x≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，

所以h(x)在[1，＋∞)上單調遞減，即g′(x)在[1，＋∞)上單調遞減，則g′(x)≤g′(1)＝1－m.

①當1－m≤0，即m≥1時，此時g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上單調遞減，所以g(x)≤g(1)＝0，滿足條件；

②當1－m>0，即－1≤m<1時，此時g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，則當1<x<x0時，g′(x)>0；

當x>x0時，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上單調遞增，在(x0，＋∞)上單調遞減，

所以當x∈[1，x0]時，g(x)≥g(1)＝0，此時不滿足條件．

綜上所述，實數m的取值范圍為．