Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， ，點在線段上，且， 為的中點.

（Ⅰ）若，求證：平面平面；

（Ⅱ）若平面平面， 為等邊三角形，且，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：⑴由得，底面為菱形， ，利用面面垂直判定定理證明；

⑵法一：由面面，推出，計算出，則；法二：推出面， ，先計算出， ，，然后

解析：(Ⅰ)∵PA=PD，AO=OD,∴PO⊥AD，

又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BO⊥AD，

PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB

又AD平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD；

（Ⅱ）方法一

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵平面ABCD

∴PO⊥OB

∵為等邊三角形， ,∴，

∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴

∴

由(Ⅰ) AD⊥平面POB∴BC⊥平面POB

∴

方法二

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵為等邊三角形， ,∴，

∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，

由(Ⅰ)BO⊥AD∴

∵PM=2MC

∴