Question

我校社團聯即將舉行一屆象棋比賽，規則如下：兩名選手比賽時，每局勝者得分，負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時結束.假設選手甲與選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負互不影響.
（Ⅰ）求比賽進行局結束，且乙比甲多得分的概率；
（Ⅱ）設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量的分布列和數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）隨機變量的分布列為

解析試題分析：（Ⅰ）這是一個獨立重復試驗，比賽進行局結束，且乙比甲多得分，只能是前兩局乙勝一局，3,4局乙連勝，根據獨立重復試驗從而求出，值得注意的是，做這一類題，一定分析清楚，否則容易出錯；（Ⅱ）設表示比賽停止時已比賽的局數，只能取值，不能為3,5，分別求出的取值為的概率，列分布列，從而求出數學期望，易錯點為的取值不正確，導致分布列錯誤。
試題解析：（Ⅰ）由題意知，乙每局獲勝的概率皆為.比賽進行局結束，且乙比甲多得分即頭兩局乙勝一局，3,4局連勝，則.   
（Ⅱ）由題意知，的取值為.則 ， ，所以隨機變量的分布列為

則
考點：本題考查獨立重復事件的概率計算、離散型隨機變量的分布列、期望，考查學生的邏輯推理能力以及基本運算能力.