Question

根據如圖所示的程序框圖,將輸出的x,y值依次分別記為x₁,x₂,…,x_n,…,x₂₀₀₈;y₁,y₂,…,y_n,…,y₂₀₀₈.

(1)求數列{x_n}的通項公式.
(2)寫出y₁,y₂,y₃,y₄,由此猜想出數列{y_n}的一個通項公式y_n,并證明你的結論.
(3)求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n(n∈N^*,n≤2008).

Answer 1

(1) x_n=2n-1(n∈N^*,n≤2008)
(2) y_n=3ⁿ-1(n∈N^*,n≤2008)，證明見解析
(3) z_n=(n-1)·3ⁿ⁺¹+3-n²(n∈N^*,n≤2008)

(1)由框圖,知數列{x_n}中,x₁=1,x_n+1=x_n+2,
∴x_n=1+2(n-1)=2n-1(n∈N^*,n≤2008).
(2)y₁=2,y₂=8,y₃=26,y₄=80.
由此,猜想y_n=3ⁿ-1(n∈N^*,n≤2008).
證明:由框圖,知數列{y_n}中,y_n+1=3y_n+2,
∴y_n+1+1=3(y_n+1),∴=3,y₁+1=3,
∴數列{y_n+1}是以3為首項,3為公比的等比數列,
∴y_n+1=3·3^n-1=3ⁿ,
∴y_n=3ⁿ-1(n∈N^*,n≤2008).
(3)z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n
=1×(3-1)+3×(3²-1)+…+(2n-1)(3ⁿ-1)
=1×3+3×3²+…+(2n-1)·3ⁿ-[1+3+…+(2n-1)]
記S_n=1×3+3×3²+…+(2n-1)·3ⁿ�、�
則3S_n=1×3²+3×3³+…+(2n-1)·3ⁿ⁺¹�、�
①-②,得-2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2(3+3²+…+3ⁿ)-3-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2×-3-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-6-(2n-1)·3ⁿ⁺¹
=2(1-n)·3ⁿ⁺¹-6,
∴S_n=(n-1)·3ⁿ⁺¹+3.
又1+3+…+(2n-1)=n²,
∴z_n=(n-1)·3ⁿ⁺¹+3-n²(n∈N^*,n≤2008).