Question

【題目】心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量記為1，則x天后的存留量；若在t（t＞4）天時進行第一次復習，則此時知識存留量比未復習情況下增加一倍（復習時間忽略不計），其后存留量y2隨時間變化的曲線恰為直線的一部分，其斜率為（a＜0），存留量隨時間變化的曲線如圖所示．當進行第一次復習后的存留量與不復習的存留量相差最大時，則稱此時刻為“二次復習最佳時機點”．

（1）若a＝－1，t＝5求“二次復習最佳時機點”；

（2）若出現了“二次復習最佳時機點”，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）第14天．（2）－4＜a＜0．

【解析】

試題（1）首先列出第一次復習后的存留量，y2＝（x－t）＋（t＞4），從而得到第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y＝y2－y1＝（x－t）＋－（t＞4）．當a＝－1，t＝5時，

y＝（x－5）＋－＝－＋1≤－2＋1＝，當且僅當x＝14時取等號，

（2）出現“二次復習最佳時機點”，就是t＞4有解，根據y＝（x－t）＋－

＝－＋－－≤－2＋，當且僅當－＝，

即x＝（t＋4）－4時取等號，由題意（t＋4）－4＞t，所以－4＜a＜0．

試題解析：解：設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y，

由題意知，y2＝（x－t）＋（t＞4），

所以y＝y2－y1＝（x－t）＋－（t＞4）．

（1）當a＝－1，t＝5時，

y＝（x－5）＋－＝－＋1≤－2＋1＝，

當且僅當x＝14時取等號，

所以“二次復習最佳時機點”為第14天．

（2）y＝（x－t）＋－＝－＋－－

≤－2＋，

當且僅當－＝，即x＝（t＋4）－4時取等號，

由題意（t＋4）－4＞t，所以－4＜a＜0．