Question

12．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10：1．
（1）求展開式中各項系數的和；
（2）求展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項；
（3）求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項．

Answer 1

分析 （1）利用通項公式求出第五項的系數與第三項的系數，他們的比為10：1，可得n的值，記錄賦值法x=1可得展開式中各項系數的和．
（2）利用通項公式，令x的指數等于$\frac{3}{2}$，求通項中的k，可得答案．
（3）設展開式中的第k項，第k+1項，第k+2項的系數絕對值分別為$C_8^{k-1}•{2^{k-1}}$，$C_8^k•{2^k}$，$C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，若第k+1項的系數絕對值最大，求出k的范圍，討論系數正負情況，可得系數最大值．根據n=8，可得第5項二項式系數最大．

解答 解：由題意知，第五項系數為$C_n^4{（-2）^4}$，第三項的系數為$C_n^2{（-2）^2}$，則有$\frac{{C_n^4{{（-2）}^4}}}{{C_n^2{{（-2）}^2}}}=\frac{10}{1}$，
化簡得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各項系數的和為（1-2）⁸=1．
（2）通項公式T_k+1=$C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}•{（-\frac{2}{x^2}）^k}$=$C_8^k{（-2）^k}•$${x}^{\frac{1}{2}（8-k）}•{x}^{-2k}$．
令$\frac{8-k}{2}$-2k=$\frac{3}{2}$，則k=1，
可得：${C}_{8}^{1}•（\sqrt{x}）^{8-1}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{1}$=${-2•C}_{8}^{1}•{x}^{\frac{7}{2}}•{x}^{-2}$=$-2{•C}_{8}^{1}•{x}^{\frac{3}{2}}$．
故展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項為-16x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（3）設展開式中的第k項，第k+1項，第k+2項的系數絕對值分別為
$C_8^{k-1}•{2^{k-1}}$，$C_8^k•{2^k}$，$C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，
若第k+1項的系數絕對值最大，則$\left\{\begin{array}{l}C_8^{k-1}•{2^{k-1}}≤C_8^k•{2^k}\\ C_8^{k+1}•{2^{k+1}}≤C_8^k•{2^k}\end{array}\right.$解得5≤k≤6．
又T₆的系數為負，
∴系數最大的項為T₇=1792x^-11．
由n=8知第5項二項式系數最大，
此時T₅=1120x^-6．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．