Question

求經過直線2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點，且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析：設出所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，找出此時圓心坐標，當圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，可得此時面積最小，把表示出的圓心坐標代入2x+y+4=0中，得到關于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，進而確定出所求圓的方程．

解答：解：可設圓的方程為x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4=0）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ+1=0，
此時圓心坐標為（-1-λ，

4-λ

2

），
顯然當圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，從而面積最小，
∴2（-1-λ）+

4-λ

2

+4=0，
解得：λ=

8

5

，
則所求圓的方程為：x²+y²+

26

5

x-

12

5

y+

37

5

=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，根據題意設出所求圓的方程，找出圓心坐標，得出圓心在直線2x+y+4=0上時面積最小是解本題的關鍵．