【題目】如圖，橢圓
與一等軸雙曲線相交，
是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點
，
，雙曲線的焦點是橢圓的左、右頂點，設
為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線
的斜率分別為
，且直線
和
與橢圓的交點分別為
、
和
、
.
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）（i）證明：
；
（ii）是否存在常數
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
，
；(2）（i）證明見解析；（ii）存在，
.
【解析】
（1）根據題意雙曲線的
，進而可求雙曲線的標準方程；橢圓的
，由
可得
，進而可得橢圓的標準方程.
（2）（i）設點
，利用兩點
，
，從而可得
，將點
代入雙曲線方程即可證出；（ii）假設存在常數
，使得
恒成立，由（i）設直線
的方程為
，進而求出直線
的方程，把直線代入橢圓方程，利用弦長公式求出
， 同理求出弦長
，代入整理即可求出的值
（1）由題意知，雙曲線的，方程為：
橢圓：，即.
于是橢圓方程為；
（2）（i）設點，則，，
則
；
而由點在雙曲線上，可知
，即有
；
從而
，故
.
（ii）假設存在常數，使得恒成立.
則由（i）知，所以可設直線的方程為，
直線的方程為
；
把直線的方程為代入橢圓方程，
整理得
；
若設
，
，則有
，
；
因此
；
同理可得
；
因此由知
.
所以存在常數
，使得恒成立.
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【題目】中國古代數學著作《九章算術》中有一個這樣的問題：“某賈人擅營，月入益功疾（注：從第2月開始，每月比前一月多入相同量的銅錢，3月入25貫，全年（按12個月計）共入510貫“，則該人每月比前一月多入_________________貫，第12月營收貫數為_________________.
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【題目】小明口袋中有3張10元，3張20元（因紙幣有編號認定每張紙幣不同），現從中掏出紙幣超過45元的方法有_______種；若小明每次掏出紙幣的概率是等可能的，不放回地掏出4張，剛好是50元的概率為_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量
,
.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）令
,把函數
的圖象上每一點的橫坐標都縮小為原來的一半（縱坐標不變），再把所得圖象沿
軸向右平移
個單位，得到函數
的圖象，試求函數的單調增區間及圖象的對稱中心.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒獎。某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：
（1）該顧客中獎的概率；
（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布列。
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