Question

已知A，B，C為橢圓W：x²+2y²=2上的三個點，O為坐標原點．
（Ⅰ）若A，C所在的直線方程為y=x+1，求AC的長；
（Ⅱ）設P為線段OB上一點，且|OB|=3|OP|，當AC中點恰為點P時，判斷△OAC的面積是否為常數，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由

x2+2y2=2 y=x+1

，
得3x²+4x=0，
解得x=0或x=-

4

3

，
∴A，C兩點的坐標為（0，1）和(-

4

3

，-

1

3

)，
∴|AC|=

4

3

2

．
（Ⅱ）①若B是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則B(

2

，0)，
∵|OB|=3|OP|，P在線段OB上，
∴P(

2

3

，0)，求得|AC|=

4

3

2

，
∴△OAC的面積等于

1

2

×

4 2

3

×

2

3

=

4

9

．
②若B不是橢圓的左、右頂點，
設AC：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+2y2=2

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
則x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
∴AC的中點P的坐標為(-

2km

2k2+1

，

m

2k2+1

)，
∴B(-

6km

2k2+1

，

3m

2k2+1

)，代入橢圓方程，化簡得2k²+1=9m²．
計算|AC|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 1+k2 2k2+1-m2

2k2+1

=

8 1+k2

9|m|

．
∵點O到AC的距離d_O-AC=

|m|

1+k2

．
∴△OAC的面積S△OAC=

1

2

|AC|•dO-AC=

1

2

×

8 1+k2

9|m|

•

|m|

1+k2

=

4

9

．
綜上，△OAC面積為常數

4

9

．