Question

已知拋物線y=ax²+2x+c與X軸交于A，B兩點，頂點為C．在-1，-2，0，1，2中任選一個數記為a，在剩下的數中選一個記為c，使△ABC為等腰直角三角形的概率為

1

4

．

Answer 1

分析：由已知得出基本事件的總數，再利用判別式△＞0，根與系數的關系，等腰直角三角形的性質得出滿足條件的要求事件的基本事件的總數即可．

解答：解：如圖所示，∵已知拋物線y=ax²+2x+c，∴a≠0．C(-

1

a

，

ac-1

a

)．
在-1，-2，0，1，2中任選一個數記為a，在剩下的數中選一個記為c．
則a，c的選法共有以下16種：-1，-2；-1，0；-1，1；-1，2；-2，-1；-2，0；-2，1；-2，2；1，-1；1，-2；1，0；1，2；2，-1；2，-2；2，0；2，1．
設A（x₁，0），B（x₂，0）．∵拋物線與x軸相較于不同兩點，∴△=4-4ac＞0，即ac＜1．
則x1+x2=-

2

a

，x1x2=

c

a

．
又若要滿足△ABC是等腰直角三角形，則

CA

•

CB

=0，
∴(x1+

1

a

，

1-ac

a

)•(x2+

1

a

，

1-ac

a

)=x1x2+

1

a

(x1+x2)+

1

a2

+

(1-ac)2

a2

=0，代入得

c

a

-

2

a2

+

1

a2

+

(1-ac)2

a2

=0．
化為（ac-1）ac=0，∵ac＜1，a≠0，∴只有c=0．
而c=0的只有4種情況：-1，0；-2，0；1，0；2，0．
因此使△ABC為等腰直角三角形的概率p=

4

16

=

1

4

．
故答案為

1

4

．

點評：正確得出基本事件的總數和利用判別式△＞0、根與系數的關系、等腰直角三角形的性質得出滿足條件的要求事件的基本事件的總數是解題的關鍵．