Question

已知一個圓柱和一個圓錐等底等高，如圖，點O為底面的圓心，點P為圓錐的頂點．若圓柱的高等于它的底面直徑．
（1）求證：圓柱的任意一條母線和圓錐的任意一條母線所成的角都相等；
（2）求圓柱的全面積和圓錐的全面積的比值．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：空間位置關系與距離

分析：設圓柱的高為h，底面半徑為r，圓錐的母線長為l，h=2r，
（1）通過圓錐的任意一條母線與軸OP組成全等的直角三角形，證明即可．
（2）求出圓柱的全面積和圓錐的全面積，即可得到它們的比值．

解答： 解：設圓柱的高為h，底面半徑為r，圓錐的母線長為l，h=2r．
（1）因為圓柱的所有母線都平行于OP，圓錐的任意一條母線與軸OP組成全等的直角三角形，
如圖，∠APO為圓柱的母線和圓錐的母線所成的角．…（2分）．
在Rt△AOP中，tan∠APO=

OA

AP

=

1

2

，則∠APO=arctan

1

2

…（4分）
∴，圓柱的任意一條母線和圓錐的任意一條母線所成的角都相等，為arctan

1

2

．…（6分）
（2）h=2r，l=

h2+r2

=

5

r…（8分）
S柱=2πrh+2πr2=6πr2，…（9分）
S錐=πr2+

1

2

l•2πr=(1+

5

)πr…（10分）
故

S柱

S錐

=

6

1+ 5

=

3

2

(

5

-1)．…（12分）

點評：本題考查旋轉體的表面積與體積的求法，考查計算能力．