Question

已知向量

m

=(2sinx-cosx，sinx)，

n

=(cosx-sinx，0)，且函數f(x)=(

m

+2

n

)•

m．

（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）將函數f（x）向左平移

π

4

個單位得到函數g（x），求函數g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

m

+2

n

的坐標，再根據函數f(x)=(

m

+2

n

)•

m

，利用兩個向量數量積公式和三角函數的恒等變換求得函數的解析式為

2

sin（2x-

π

4

），由此求得函數的最小正周期．
（Ⅱ）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律求得g（x）=

2

sin（2x+

π

4

），令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得 x的范圍，即可求得函數的增區間．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

+2

n

=（cosx，sinx），
∴函數f(x)=(

m

+2

n

)•

m

=（cosx，sinx）•（2sinx-cosx，sinx）=2sinxcosx-cos²x+sin²x=

2

sin（2x-

π

4

），
函數f(x)=(

m

+2

n

)•

m

 的最小正周期等于

2π

2

=π．
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到函數y=

2

sin[2（x+

π

4

）-

π

4

]=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象，故 g（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z可得  kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函數的增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量數量積公式，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，正弦函數的周期性和單調性，屬于中檔題．