Question

已知向量

m

=(-2sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，2cosx)，函數f(x)=1-

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期； 
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的單調遞增區間；
（3）說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經過怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析：（1）根據降冪公式和和角公式，把f（x）化成正弦型函數再求最小正周期
（2）結合正弦函數的單調性，求出函數f（x）的單調遞增區間；
（3）利用左加右減，與伸縮變換的原則，直接說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經過變換而得到．

解答：解：（1）∵

m

=(-2sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，2cosx)，
f(x)=1-

m

•

n

=1-2

3

sinxcosx+2cos²x=2sin（2x-

π

6

）    
所以函數的正確為

2π

2

=π；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的單調遞增區間為[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．
（3）將g（x）=sinx的圖象向右平移

π

6

個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），
最后把所得各點的縱坐標縮短為原來的

1

2

（橫坐標不變），
得到f（x）=2sin（2x-

π

6

）的圖象．

點評：本題綜合考查三角函數的性質，要求熟練掌握正弦函數的性質，同時考查向量的數量積和整體代換思想．是三角函數和向量的交匯題型．屬簡單題