Question

【題目】關于函數f（x）（x∈R），有下述四個結論：

①任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）＝0恒成立；

②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）；

③存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|＝m有兩個不等實數根；

④存在k∈（1，+∞），使得函數g（x）＝f（x）﹣kx在R上有三個零點．

其中包含了所有正確結論編號的選項為（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據函數的奇偶性判斷①的正確性，根據函數的單調性判斷②的正確性，根據的圖像判斷③的正確性，根據與的圖像判斷④的正確性.

函數的定義域為，且，所以，即函數為奇函數，故①正確.

為上的奇函數，，當時，為增函數，所以在上是增函數，所以②正確.

是上的奇函數、增函數，且當時，.則為偶函數，且當時，，遞增；當時，；當時，遞減.由此畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，當是，與有兩個不同的交點，所以③正確.

畫出與的圖像如下圖所示，由圖可知，當時，兩個函數圖像沒有三個交點，所以④正確.證明如下：當時，，，，所以于的圖像相切.當時，，，，所以于的圖像相切.結合圖像可知與的圖像只有一個公共點，當時，與的圖像也只有一個公共點.

故選：B