Question

【題目】給出集合

(1)若求證:函數

(2)由(1)可知，是周期函數且是奇函數，于是張三同學得出兩個命題：

命題甲:集合M中的元素都是周期函數；命題乙:集合M中的元素都是奇函數，請對此給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確,請舉出反例；

(3)設為常數,且求的充要條件并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）命題甲正確，命題乙不正確；（3）的充要條件為，，且．證明見解析.

【解析】

（1）轉化證明等價于，利用兩角和與差的三角函數化簡求解即可．（2）命題甲正確．集合中的元素都是周期為6的周期函數，驗證即可，命題乙不正確．集合中的元素不都是奇函數，列舉反例即可；（3）由函數的周期性，結合正弦公式，化簡可得所求的值．

（1）證明：轉化證明

，

左邊

右邊；

（2）命題甲正確．集合中的元素都是周期為6的周期函數．

，可得，

即有，可得，

即，為最小正周期為6的函數；

命題乙不正確．集合中的元素不都是奇函數．

如是奇函數；不是奇函數．

（3）由，可得，

即有，可得，

即，

，可得，

即為，

即為，可得，，且，

可得，，且．

則的充要條件為，，且．