Question

【題目】設函數f（x）=cos（2x+ ）+2cos2x，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移 個單位長度后得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）在區間 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=cos（2x+ ）+2cos2x=cos2xcos -sin2xsin +cos2x+1

= cos2x- sin2x+1=cos（2x+ ）+1，

故函數的最小正周期為T= =π，

令2kπ+π≤2x+ ≤2kπ+2π，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，求得函數的增區間為[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）將函數f（x）的圖象向右平移 個單位長度后得到函數g（x）=cos[2（x - ）+ ]+1

=cos（2x - + ）+1=cos（2x- ）+1的圖象，

由x∈[0， ]，可得：2x- ∈[ ， ]，

可得：cos（2x - ）∈[ ，1]，

解得：g（x）=cos（2x- ）+1∈[ ，2]．

【解析】（1）對函數f（x）進行簡單的三角恒等變換，結合輔助角公式可得出f（x）=cos（2x+ ）+1,根據余弦函數的圖象及其性質得出函數的增區間，（2）對f（x）經過平移得到g（x）的函數解析式，在區間內討論得到g（x）的值域.
【考點精析】掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換是解答本題的根本，需要知道圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．