Question

（2007•崇文區二模）如圖1 矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使點A移動到點P，使點P在平面BCD上的射影在DC上（如圖2）．

（Ⅰ）求證：PD⊥面PCB；
（Ⅱ）求二面角P-DB-C的大小的正弦值；
（Ⅲ）求直線CD與平面PBD所成角的大小的正弦值．

Answer 1

分析：（I）折起后PD⊥PB，過P點作PF⊥CD，可得PF⊥面BCD，進而BC⊥面PCD，進而PD⊥面PBC
（II）過點F作FE⊥BD，連結PE，可得∠PEF為二面角P-BD-C的平面角，解△CPD和△DPB，可得答案：
（III）過F點作FG⊥PE；由（2）可知FG⊥面PDB，連結GD，可得∠GDF為直線CD與平面PDB所成的角，解Rt△PDF中和Rt△PFE可得答案．

解答：證明：（I）∵四邊形ABCD為矩形
∴BC⊥CD，DA⊥AB…（1分）
∵A點移動到了P點
∴PD⊥PB
又∵P點在平面BCD上的射影在CD上
∴過P點作PF⊥CD
∴PF⊥面BCD
∴BC⊥面PCD
∴PD⊥面PBC…（4分）
解：（II）∵PF⊥面BCD
∴過點F作FE⊥BD，連結PE
∴∠PEF為二面角P-BD-C的平面角…（5分）
∵PD⊥PC，∴△CPD為Rt△

∵PD=2 3 ，CD=6 ∴PC=2 6

∴PF=2

2

…（7分）
又∵在Rt△DPB中，PD=2

3

，PB=6，BD=4

3

∴PE=3
∴sin∠PEF=

2 2

3

…（9分）
解：（III）過F點作FG⊥PE；
由（2）可知FG⊥面PDB，連結GD
∴∠GDF為直線CD與平面PDB所成的角…（11分）
∵在Rt△PDF中，PD=2

3

，PF=2

2

∴DF=2
∵在Rt△PFE中，PF=2

2

，PE=3

∴EF=1 ∴FG= 2 2 3

∴sin∠GDF=

FG

DF

=

2

3

…（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，線面垂直及線面夾角，是空間立體幾何的綜合應用，難度中檔．