Question

【題目】已知函數f（x）=a﹣ ．
（1）求證：函數f（x）在R上為增函數；
（2）當函數f（x）為奇函數時，求函數f（x）在[﹣1，2]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于函數f（x）=a﹣ ，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=a﹣ ﹣a+ = ，

因為x1＜x2，所以 ﹣ ＜0，而分母（1+ ）（1+ ）＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函數f（x）在R上為增函數

（2）解：因函數f（x）在x=0有意義，又函數f（x）為奇函數，則f（0）=a﹣ =0，∴a= ，f（x）= ﹣ ，

由（1）可知f（x）在[﹣1，2]是單調遞增的，易得 ， ，

即f（x）的值域是 ．

【解析】（1）利用函數的單調性的定義證明函數f（x）在R上為增函數．（2）利用f（0）=0求得a的值，再根據f（x）在[﹣1，2]是單調遞增的，從而求得函數f（x）在[﹣1，2]上的值域．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．