Question

【題目】已知拋物線，其焦點(diǎn)為.

（1）若點(diǎn)，求以為中點(diǎn)的拋物線的弦所在的直線方程；

（2）若互相垂直的直線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦所在的直線方程；（2）利用拋物線的定義求拋物線的焦點(diǎn)弦長，表示四邊形的面積，再利用均值不等式求面積的最值.

試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)拋物線含焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，所以中點(diǎn)弦所在的直線存在.設(shè)所求直線交拋物線于,,則,, 所求直線方程為: .

依題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立，得

,消，整理得，其兩根為, 且.

由拋物線的定義可知, , 同理,所以四邊形的面積.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.