Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，求的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)

【解析】

（1）當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；

（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點(diǎn)，函數(shù)在時，可能僅有一個零點(diǎn)，可能有兩個零點(diǎn)，分別求出的取值范圍，可得解．

（1）當(dāng)時，函數(shù)，

當(dāng)時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；

當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

又由函數(shù)， 當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為；

故當(dāng)時，最小值為．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個零點(diǎn)，所以

（ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)有一個零點(diǎn)，令得，

因?yàn)?/span>時，，所以時，函數(shù)有一個零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為且，

此時需函數(shù)在時也恰有一個零點(diǎn)，

令，即，得，令，

設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，，，

當(dāng)時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；

而當(dāng)時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點(diǎn)，則需，

要使函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，且，設(shè)在時的零點(diǎn)為，

則需，而當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，并且滿足；

（ⅱ）若當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個零點(diǎn) ，且滿足，也符合題意，

而由（ⅰ）可得，要使當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，則 ，

要使函數(shù)在恰有兩個零點(diǎn) ，則，但不能滿足，

所以沒有的范圍滿足當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)，

函數(shù)在恰有兩個零點(diǎn) ，且滿足，

綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為．

故得解.