Question

（本小題滿分16分）
已知數列是各項均為正數的等差數列．
（1）若，且，，成等比數列，求數列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，數列的前和為，設，若對任意的，不等式恒成立，求實數的最小值；
（3）若數列中有兩項可以表示為某個整數的不同次冪，求證：數列　中存在無窮多項構成等比數列．

Answer 1

（1）的通項公式．（2）實數的最小值為．
（3）有等比數列，其中．   

本試題主要是考查了數列的通項公式和數列求和的綜合運用。
（1）因為因為 又因為是正項等差數列，故，利用等差數列的某兩項可知其通項公式的求解。
（2）因為，可知其的通項公式，利用裂項求和的思想得到結論。
（3）因為這個數列的所有項都是正數，并且不相等，所以，
設其中 是數列的項，是大于1的整數，
分析證明。
（1）因為 又因為是正項等差數列，故
所以，得或(舍去) ，
所以數列的通項公式．………………………………………………4分
（2） 因為，
，

　　 ，
令，則， 當時，恒成立，
所以在上是增函數，故當時，，即當時，， 要使對任意的正整數， 不等式恒成立，
則須使， 所以實數的最小值為．…………………………10分
（3）因為這個數列的所有項都是正數，并且不相等，所以，
設其中 是數列的項，是大于1的整數，，
令，則，
故是的整數倍，對的次冪，
所以，右邊是的整數倍．
所有這種形式是數列中某一項，
因此有等比數列，其中．   …………………………16分