Question

預計某地區明年從年初開始的前x個月內，對某種商品的需求總量f（x）（萬件）近似滿足：f（x）=x（x+1）（35-2x）（x∈N^*，且x≤12）
（1）寫出明年第x個月的需求量g（x）（萬件）與月份x的函數關系式，并求出哪個月份的需求量超過192萬件；
（2）如果將該商品每月都投放到該地區P萬件（不包含積壓商品），要保證每月都滿足供應，P應至少為多少萬件？（積壓商品轉入下月繼續銷售）

Answer 1

分析：（1）當x=1時直接代入f（x）的解析式求解，當x≥2時，由g（x）=f（x）-f（x-1）列式求解，求出g（x）后直接求解不等式得到滿足條件的月份；
（2）由題意可得P≥

g(x)

x

對于x∈N^*，x≤12恒成立，代入g（x）解析式后利用二次函數求最值，從而得到答案．

解答：解：（1）當x=1時，g（1）=f（1）=66（萬件）
當x≥2時，g（x）=f（x）-f（x-1）
=x（x+1）（35-2x）-（x-1）x（37-2x）=-6x²+72x．
所以，g（x）=-6（x²-12x）（x∈N^*且x≤12）．
由g（x）＞192，即-6（x²-12x）＞192．
化簡得x²-12x+32＜0，解得4＜x＜8．
又x∈N^*，所以x=5，6，7．
答：第5，6，7月份的需求量超過192萬件；
（2）要保證每月都滿足供應，則P≥

g(x)

x

對于x∈N^*，x≤12恒成立．

g(x)

x

=(x+1)(35-2x)=-2x2+33x+35．
所以當x=8時，

g(x)

x

取最大值171．
所以P≥171．
答：每月至少應投放171萬件．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了簡單的數學建模思想方法，考查了一元二次不等式的解法及二次函數最值的求法，是中檔題．