Question

已知函數y=f(x)的定義域為R，當x＜0時，f(x)＞1，且對任意的實數x，y，等式f(x)+f(y)=f(x+y)恒成立，若數列{a_n}滿足a₁=f(0)，且，則a₂₀₁₁的值為

A．4017

B．4018

C．4019

D．4021

Answer 1

D

因為是選擇題，可用特殊函數來研究，根據條件，底數小于1的指數函數符合題意，可令f（x）=()^x，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由 f(a_n+1)=（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數列的定義求得結果．
解：根據題意，不妨設f（x）=()^x
則a₁=f（0）=1，
∵f(a_n+1)=（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴數列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₁₁=4021
故選D