Question

【題目】已知函數f（x）是R上的奇函數．

（1）若x∈[，]，求f（x）的取值范圍

（2）若對任意的x1∈[1，，總存在x2∈[，]使得mlog2（﹣6x12+24x1﹣16）﹣f（x2）0（m＞0）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[4，5]（2）.

【解析】

（1）利用奇函數的性質，結合f（0）＝0，求得a＝2，從而確定出函數的解析式，之后換元，令t＝sinx，結合題中所給的自變量的范圍，求得，得到函數，利用函數的單調性求得結果；

（2）根據題意，將問題轉化為兩個函數值域之間的關系，先求出兩個函數的值域，之后應用具備包含關系的兩個集合的特征，列出對應的不等式組，求得結果.

（1）由題意，f（0）＝0，即a﹣2＝0，解得a＝2，

∴，令t＝sinx，由x∈[，]得，，

∴，

易知函數g（t）在上單調遞增，故g（t）∈[4，5]，

∴f（x）的取值范圍為[4，5]；

（2）由已知，對任意的x1∈[1，，總存在x2∈[，]使得mlog2（﹣6x12+24x1﹣16）f（x2）（m＞0）成立，

設函數，的值域為集合A，函數的值域為集合B，

由已知，AB，由（1）得B＝[4，5]，

當x1∈[1，時，，，

故，

則，

解得，

又m＞0，故實數m的取值范圍為.