Question

【題目】給出下列四個結論：

①當a為任意實數時，直線（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒過定點P，則過點P且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是；

②已知雙曲線的右焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x﹣y=0，則雙曲線的標準方程是；

③拋物線的準線方程為.

④已知雙曲線，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（﹣12，0）．

其中正確命題的序號是___________．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

對于①，先救出直線恒過的定點，再求出符合條件的拋物線方程，判斷得①正確；②中根據漸近線方程求得a和b的關系進而根據焦距求得a和b，橢圓方程可得．③把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質可得拋物線的準線方程．④根據離心率的范圍求得m的取值范圍判斷④正確．

①整理直線方程得（x+2）a+（1﹣x﹣y）=0，可知直線（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒過定點P（﹣2，3），故符合條件的方程是 ，則①正確；

②依題意知 =2，a2+b2=25，得a=，b=2 ，則雙曲線的標準方程是，故可知結論②正確．

③拋物線方程得x2=y，可知準線方程為 ，故③正確．

④離心率1＜e=＜2，解得﹣12＜m＜0，又m＜0，故m的范圍是﹣12＜m＜0，④正確，

故其中所有正確結論的個數是：4

故選：D．