Question

已知a,b是兩個非零向量，同時滿足|a|=|b|=|a-b|，求a與a+b的夾角.

Answer 1

解法一：根據|a|=|b|，有|a|²=|b|²，

又由|b|=|a-b|，得|b|²=|a|²-2a·b+|b|²，

∴a·b=|a|².

而|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|²=3|a|²,

∴|a+b|=.

設a與a+b的夾角為θ，則

cosθ=，

∴θ=30°.

解法二：設向量a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，

∵|a|=|b|,∴.

由|b|=|a-b|，得x₁x₂+y₁y₂=(),即a·b=().

由|a+b|²=2()+2×()=3()，得|a+b|=().

設a與a+b的夾角為θ，則cosθ=，

∴θ=30°.

解法三：根據向量加法的幾何意義，在平面內任取一點O，作=a，OB=b，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB.

∵|a|=|b|，即||=||，∴OACB為菱形，OC平分∠AOB，這時=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.

∴△AOB為正三角形，則∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a與a+b的夾角為30°.