Question

已知定理：“如果兩個非零向量

e1

，

e2

不平行，那么k1

e1

+k2

e2

=

0

（k₁，k₂∈R）的充要條件是k₁=k₂=0”．試用上述定理解答問題：
設非零向量

e1

與

e2

不平行．已知向量

a

=(ksinθ)•

e

1+(2-cosθ)•

e

2，向量

b

=

e

1+

e

2，且

a

∥

b

．求k與θ的關系式；并當θ∈R時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：因為

a

∥

b

，可根據向量平行的充要條件，找到

a

，

b

坐標之間的關系，再根據題目中給出的定理，化簡，即可得到k與θ的關系式，把關系式看作過定點與動點的直線的斜率，利用直線與圓相切的判斷，求出k的范圍即可．

解答：解：∵

a

∥

b

，∴存在唯一實數λ，使

a

=λ

b

，即

a

-λ

b

=

0

∵

a

=(ksinθ)• 

e1

+(2-cosθ)• 

e2

，

b

=

e1

+

e2

，
∴(ksinθ)•

e1

+(2-cosθ)•

e2

+λ(

e1

+

e2)

=

0

即(ksinθ+λ)•

e1

+(2-cosθ+λ)•

e2

=

0

∴ksinθ+λ=0，2-cosθ+λ=0
∴ksinθ=2-cosθ，k=

2-cosθ

sinθ

∵

2-cosθ

sinθ

可看作點（-sinθ，cosθ），與點（0，2）連線的斜率
（-sinθ，cosθ）是圓x²+y²=1上動點，（0.2）是定點
求過（0，2）點的圓的切線斜率，可得k=±

3

∴-

3

＜k＜

3

答：k與θ的關系式為k=

2-cosθ

sinθ

，當θ∈R時，k的取值范圍為（-

3

，

3

）

點評：本題主要考查了利用新概念解題，以及應用直線的斜率公式求范圍，考查了學生具有自主學習的能力和轉化的思想．