Question

（本小題14分）已知直線經過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線與直線分別交于兩點。

（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段的長度的最小值；
（Ⅲ）當線段的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數，若不存在，說明理由。

Answer 1

（I）；（Ⅱ）時，線段的長度取最小值
（Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上存在2個不同的點，使得的面積為

試題分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點為A（-2，0），上頂點為D（0，1，由此能求出橢圓C的方程．（2）設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(，k)．由題設條件可以求出N(，-)，所以|MN|得到表示，再由均值不等式進行求解
（3）在第二問的基礎上確定了直線BS的斜率得到直線方程，利用點到直線的距離得到l‘,然后得到分析方程組的解的個數即為滿足題意的點的個數。
解：（I）；故橢圓的方程為
（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而
由得0
設則得，
從而即又
由得
故 
又
當且僅當，即時等號成立。
時，線段的長度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，
此時的方程為
要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設直線
則由解得或
當時， 得，，故有2個不同的交點；
當時，得，，故沒有交點；
綜上：當線段MN的長度最小時，在橢圓上存在2個不同的點，使得的面積為
點評：解決該試題的關鍵是能利用橢圓的幾何性質表述出|MN|，同時結合均值不等式求解最小值。